Fonctions du Troisième Degré (STMG et STI2D)

Correction :

Pour déterminer le sens de variation des fonctions de la forme $f(x) = ax^3$, nous devons examiner le signe du coefficient $a$.

1. Pour $f(x) = -6x^3$, le coefficient $a = -6$. Comme $a < 0$, la fonction $f(x) = -6x^3$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

2. Pour $f(x) = -2,5x^3$, le coefficient $a = -2,5$. Comme $a < 0$, la fonction $f(x) = -2,5x^3$ est également strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Conclusion : Les deux fonctions données sont strictement décroissantes sur $\mathbb{R}$.

Correction :

Pour relier les fonctions à leurs courbes, analysons le coefficient $a$ de chaque fonction et la forme des courbes.

Pour $g(x) = 1,5x^3$, le coefficient $a = 1,5 > 0$. Donc, $g(x)$ est strictement croissante. La courbe d'une fonction croissante monte de gauche à droite.

Pour $i(x) = -2,5x^3$, le coefficient $a = -2,5 < 0$. Donc, $i(x)$ est strictement décroissante. La courbe d'une fonction décroissante descend de gauche à droite.

Observons les graphiques :

Courbe A (bleue) : Monte de gauche à droite, donc elle correspond à une fonction croissante, soit $g(x) = 1,5x^3$.

Courbe B (rouge) : Descend de gauche à droite, donc elle correspond à une fonction décroissante, soit $i(x) = -2,5x^3$.

Justification : Le signe du coefficient $a$ détermine le sens de variation de la fonction $x \mapsto ax^3$, et donc la direction générale de la courbe.

Correction :

Nous savons que $h(x) = ax^3$ et que $h(4) = 32$. Nous devons trouver la valeur de $a$.

Substituons $x = 4$ dans l'expression de $h(x)$ :

$$h(4) = a(4)^3$$

Nous savons que $h(4) = 32$, donc :

$$32 = a(4)^3$$ $$32 = a \times 64$$

Pour trouver $a$, nous divisons les deux côtés par 64 :

$$a = \frac{32}{64}$$ $$a = \frac{1}{2}$$

Conclusion : La valeur de $a$ est $\frac{1}{2}$.

Correction avec le point A(1, -2) :

La fonction est de la forme $g(x) = ax^3$. Pour déterminer $a$, nous utilisons le point A de coordonnées $(1, -2)$ qui appartient à la courbe.

Puisque le point A $(1, -2)$ est sur la courbe de $g$, ses coordonnées vérifient l'équation de la fonction :

$$g(1) = -2$$

Substituons $x = 1$ dans l'expression de $g(x) = ax^3$ :

$$g(1) = a(1)^3$$ $$g(1) = a$$

Nous savons que $g(1) = -2$, donc :

$$-2 = a$$

Donc, l'expression de la fonction $g$ est $g(x) = -2x^3$.

Correction :

La fonction est de la forme $f(x) = ax^3$. Pour trouver la valeur de $a$, nous pouvons utiliser n'importe quel point du tableau autre que $(0, 0)$ pour éviter une division par zéro ou une indétermination.

Utilisons le point $(-1, 3)$ du tableau. Ses coordonnées doivent vérifier l'équation $f(x) = ax^3$ :

$$f(-1) = 3$$

Substituons $x = -1$ dans l'expression de $f(x) = ax^3$ :

$$f(-1) = a(-1)^3$$ $$f(-1) = -a$$

Nous savons que $f(-1) = 3$, donc :

$$3 = -a$$

Multiplions par $-1$ pour trouver $a$ :

$$a = -3$$

Vérifions avec un autre point, par exemple $(2, -24)$ :

$$f(2) = a(2)^3 = -3 \times (2)^3 = -3 \times 8 = -24$$

Cela correspond bien à la valeur donnée dans le tableau.

Conclusion : La valeur de $a$ est $-3$.

Correction :

Pour déterminer le sens de variation des fonctions de la forme $f(x) = ax^3 + b$, nous examinons le signe du coefficient $a$. La constante $b$ n'affecte pas le sens de variation.

1. Pour $f(x) = -5x^3 - 4$, le coefficient $a = -5$. Comme $a < 0$, la fonction $f(x) = -5x^3 - 4$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

2. Pour $f(x) = -3x^3 + 6$, le coefficient $a = -3$. Comme $a < 0$, la fonction $f(x) = -3x^3 + 6$ est également strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Conclusion : Les deux fonctions données sont strictement décroissantes sur $\mathbb{R}$.

Correction :

Analysons le coefficient $a$ de chaque fonction et la forme des courbes pour les relier correctement.

Pour $f(x) = 0,3x^3 - 3,5$, le coefficient $a = 0,3 > 0$. Donc, $f(x)$ est strictement croissante. Sa courbe monte de gauche à droite.

Pour $h(x) = -0,5x^3 + 4$, le coefficient $a = -0,5 < 0$. Donc, $h(x)$ est strictement décroissante. Sa courbe descend de gauche à droite.

Observons les graphiques :

Courbe A (rouge) : Descend de gauche à droite, donc correspond à une fonction décroissante, soit $h(x) = -0,5x^3 + 4$.

Courbe B (bleue) : Monte de gauche à droite, donc correspond à une fonction croissante, soit $f(x) = 0,3x^3 - 3,5$.

Justification : Le signe de $a$ détermine le sens de variation de $x \mapsto ax^3+b$, et donc l'allure générale de la courbe.

Correction :

Nous avons la fonction $f(t) = at^3 + b$ et deux conditions : $f(-1) = -3$ et $f(2) = 15$. Nous devons trouver les valeurs de $a$ et $b$.

Utilisons la première condition $f(-1) = -3$ :

$$f(-1) = a(-1)^3 + b = -3$$ $$-a + b = -3 \quad (1)$$

Utilisons la seconde condition $f(2) = 15$ :

$$f(2) = a(2)^3 + b = 15$$ $$8a + b = 15 \quad (2)$$

Nous avons un système de deux équations linéaires à deux inconnues $a$ et $b$ :

$$\begin{cases} -a + b = -3 \\ 8a + b = 15 \end{cases}$$

Soustrayons l'équation (1) de l'équation (2) pour éliminer $b$ :

$$(8a + b) - (-a + b) = 15 - (-3)$$ $$8a + b + a - b = 15 + 3$$ $$9a = 18$$ $$a = \frac{18}{9} = 2$$

Substituons $a = 2$ dans l'équation (1) pour trouver $b$ :

$$-2 + b = -3$$ $$b = -3 + 2$$ $$b = -1$$

Conclusion : Les valeurs sont $a = 2$ et $b = -1$. La fonction est $f(t) = 2t^3 - 1$.

Correction :

La fonction est de la forme $g(x) = ax^3 + b$. Nous utilisons les points A $(0, -1)$ et B $(1, -2)$ pour trouver $a$ et $b$.

Pour le point A $(0, -1)$ :

$$g(0) = a(0)^3 + b = -1$$ $$b = -1$$

Pour le point B $(1, -2)$ :

$$g(1) = a(1)^3 + b = -2$$ $$a + b = -2$$

Nous avons trouvé $b = -1$. Substituons cette valeur dans la seconde équation :

$$a + (-1) = -2$$ $$a = -2 + 1$$ $$a = -1$$

Donc, l'expression de la fonction $g$ est $g(x) = -x^3 - 1$.

Correction :

La fonction est de la forme $f(x) = ax^3 + b$. Nous utilisons deux points du tableau pour trouver $a$ et $b$.

Utilisons les points $(0, 1)$ et $(1, -1)$.

Pour le point $(0, 1)$ :

$$f(0) = a(0)^3 + b = 1$$ $$b = 1$$

Pour le point $(1, -1)$ :

$$f(1) = a(1)^3 + b = -1$$ $$a + b = -1$$

Substituons $b = 1$ dans la seconde équation :

$$a + 1 = -1$$ $$a = -1 - 1$$ $$a = -2$$

Vérifions avec un autre point, par exemple $(-2, 17)$ :

$$f(-2) = a(-2)^3 + b = -2 \times (-2)^3 + 1 = -2 \times (-8) + 1 = 16 + 1 = 17$$

Cela correspond bien à la valeur dans le tableau.

Conclusion : Les valeurs sont $a = -2$ et $b = 1$. La fonction est $f(x) = -2x^3 + 1$.

Correction :

Nous analysons comment la fonction $g$ est obtenue à partir de la fonction $f$ dans chaque cas.

1. Comparons $f(x) = -2,3x^3$ et $g(x) = -2,3x^3 - 3,2$. On observe que :

$$g(x) = f(x) - 3,2$$

La fonction $g$ est obtenue en soustrayant 3,2 à la fonction $f$. Cela correspond à une translation verticale vers le bas de 3,2 unités.

2. Comparons $f(x) = 53x^3$ et $g(x) = -53x^3 - 64$. Ici, il y a deux changements : le coefficient de $x^3$ change de signe et une constante est soustraite.

D'abord, observons $h(x) = -53x^3 = -f(x)$. La transformation de $f(x)$ à $h(x) = -f(x)$ est une symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses (axe des x).

Ensuite, $g(x) = -53x^3 - 64 = h(x) - 64$. La transformation de $h(x)$ à $g(x) = h(x) - 64$ est une translation verticale vers le bas de 64 unités.

Conclusion :

1. La transformation de la courbe de $f$ à celle de $g$ est une translation verticale de vecteur $\vec{v} = (0 ; -3,2)$.

2. La transformation de la courbe de $f$ à celle de $g$ est la composée d'une symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses, suivie d'une translation verticale de vecteur $\vec{w} = (0 ; -64)$.

Correction :

Pour une fonction polynôme donnée sous forme factorisée $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, les racines sont $x_1$, $x_2$, et $x_3$.

1. Pour $f(x) = 2(x-3)(x+5)(x+2)$, nous avons les facteurs $(x-3)$, $(x+5) = (x-(-5))$, et $(x+2) = (x-(-2))$.

Les racines sont donc :

$$x_1 = 3$$

$$x_2 = -5$$

$$x_3 = -2$$

---

2. Pour $g(t) = -4(t-3,2)\left(t-\dfrac{2}{3}\right)(t+1) = -4(t-3,2)\left(t-\dfrac{2}{3}\right)(t-(-1))$, nous avons les facteurs $(t-3,2)$, $\left(t-\dfrac{2}{3}\right)$, et $(t+1) = (t-(-1))$.

Les racines sont donc :

$$t_1 = 3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$$

$$t_2 = \dfrac{2}{3}$$

$$t_3 = -1$$

---

Conclusion :

1. Les racines de $f(x)$ sont $3$, $-5$, et $-2$.

2. Les racines de $g(t)$ sont $3,2$, $\dfrac{2}{3}$, et $-1$.

Correction :

Pour trouver les racines de la fonction $f(x) = x^3 - 8$, nous devons résoudre l'équation $f(x) = 0$.

On a donc :

$$x^3 - 8 = 0$$

Méthode 1 : Factorisation (hors programme)

On reconnaît une différence de cubes, que l'on peut factoriser en utilisant l'identité $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ avec $a = x$ et $b = 2$.

Ainsi, $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$.

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut qu'au moins un des facteurs soit nul. Donc, on a deux cas à considérer :

Cas 1 : $x - 2 = 0 \implies x = 2$

Cas 2 : $x^2 + 2x + 4 = 0$. Le discriminant de cette équation quadratique est $\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = -12$. Puisque $\Delta < 0$, cette équation n'a pas de solutions réelles.

Méthode 2 : Racine cubique

On isole $x^3$ :

$$x^3 = 8$$

On prend la racine cubique des deux côtés :

$$x = \sqrt[3]{8}$$

Puisque $2^3 = 8$, on a :

$$x = 2$$

Conclusion : La fonction $f(x) = x^3 - 8$ a une seule racine réelle, qui est 2. Il y a donc une seule racine réelle.

Correction :

Puisque la fonction $f$ est un polynôme de degré 3 et qu'elle admet trois racines $1$, $-2$, et $4$, elle peut s'écrire sous la forme factorisée :

$$f(x) = a(x - 1)(x - (-2))(x - 4)$$ $$f(x) = a(x - 1)(x + 2)(x - 4)$$

où $a$ est un coefficient réel non nul que nous devons déterminer en utilisant la condition $f(0) = 16$.

Substituons $x = 0$ dans l'expression de $f(x)$ :

$$f(0) = a(0 - 1)(0 + 2)(0 - 4)$$ $$f(0) = a(-1)(2)(-4)$$ $$f(0) = 8a$$

Nous savons que $f(0) = 16$, donc :

$$16 = 8a$$ $$a = \frac{16}{8} = 2$$

Maintenant que nous avons trouvé $a = 2$, nous pouvons écrire l'expression complète de $f(x)$ :

$$f(x) = 2(x - 1)(x + 2)(x - 4)$$

On peut développer cette expression pour obtenir la forme polynomiale développée si nécessaire, mais la forme factorisée est souvent suffisante.

Conclusion : L'expression de la fonction polynôme $f$ est $f(x) = 2(x - 1)(x + 2)(x - 4)$.

Correction :

Observons le graphique et utilisons les informations données : la fonction polynôme de degré 3 a une racine double en $x=2$ et une racine simple en $x=-1$. Cela signifie que le facteur $(x-2)$ apparaît au carré et le facteur $(x-(-1)) = (x+1)$ apparaît une fois dans la forme factorisée.

La forme factorisée de $f(x)$ est donc :

$$f(x) = a(x - 2)^2(x - (-1))$$ $$f(x) = a(x - 2)^2(x + 1)$$

où $a$ est un coefficient réel non nul que nous devons déterminer. Pour cela, utilisons le point A $(0, 2)$ qui est sur la courbe. Ses coordonnées vérifient l'équation de la fonction :

$$f(0) = 2$$

Substituons $x = 0$ dans l'expression factorisée de $f(x)$ :

$$f(0) = a(0 - 2)^2(0 + 1)$$ $$f(0) = a(-2)^2(1)$$ $$f(0) = a(4)(1)$$ $$f(0) = 4a$$

Nous savons que $f(0) = 2$, donc :

$$2 = 4a$$ $$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Ainsi, l'expression de la fonction polynôme $f$ est :

$$f(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^2(x + 1)$$

Conclusion : L'expression de la fonction polynôme $f$ est $f(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^2(x + 1)$.

Correction :

Partie A : Étude graphique

1. Pour $t = 5$, en lisant le graphique, la concentration est d'environ $20$ mg.L$^{-1}$.

2. La concentration maximale atteinte, d'après le graphique, est d'environ $30$ mg.L$^{-1}$ (le sommet de la courbe). La dose maximale à ne pas dépasser est $40$ mg.L$^{-1}$. Oui, le médecin a respecté la dose car la concentration maximale atteinte ($30$ mg.L$^{-1}$) est inférieure à la limite de $40$ mg.L$^{-1}$.

3. Pour une concentration de $15$ mg.L$^{-1}$, en lisant horizontalement sur le graphique à partir de $15$ mg.L$^{-1}$, on trouve deux points d'intersection avec la courbe. Les temps correspondants sont environ $t \approx 0,5$ heure et $t \approx 4$ heures. 0,5 heure = 30 minutes. Donc, les temps sont environ 30 minutes et 4 heures.

4. Le médicament est efficace lorsque la concentration est supérieure ou égale à $25$ mg.L$^{-1}$. Graphiquement, on regarde la partie de la courbe au-dessus de la ligne $y=25$. Le médicament est efficace entre les deux points d'intersection de la courbe avec la ligne $y=25$. Ces points correspondent à environ $t \approx 1,5$ heure et $t \approx 3,5$ heures. La durée d'efficacité est donc d'environ $3,5 - 1,5 = 2$ heures. Le médicament reste efficace pendant environ 2 heures.

5. Le médicament est complètement éliminé lorsque la concentration devient nulle. Graphiquement, on cherche l'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. D'après le graphique, la concentration ne devient jamais nulle sur l'intervalle observé $[0;6]$. Cependant, on peut extrapoler et estimer qu'elle deviendra pratiquement nulle pour un temps beaucoup plus grand que 6 heures, mais sur l'intervalle observé, le médicament n'est pas complètement éliminé.

Partie B : Étude numérique

1. Calculons les valeurs de $g(t) = f(t) - 25 = t^3 - 12t^2 + 36t - 25$ pour $t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ :

2. a. En utilisant une calculatrice ou un tableur, on trouve les racines approchées de $g(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 25 \approx 0$ :

Première racine : $t_1 \approx 1,0$

Deuxième racine : $t_2 \approx 4,1$

Troisième racine : $t_3 \approx 6,9$ (hors de l'intervalle $[0;6]$)

En affinant, on pourrait obtenir des valeurs plus précises au dixième près.

b. Vérification de $g(t) = (t-1)\left(t-\dfrac{11-\sqrt{21}}{2}\right)\left(t-\dfrac{11+\sqrt{21}}{2}\right)$. Développons l'expression :

$\dfrac{11-\sqrt{21}}{2} \approx \dfrac{11-4.58}{2} \approx 3.21$ et $\dfrac{11+\sqrt{21}}{2} \approx \dfrac{11+4.58}{2} \approx 7.79$.

Donc, les racines sont effectivement proches de $1$, $3.21$ et $7.79$. La première racine est exactement $t=1$.

c. Étudions le signe de $g(t)$ sur $[0;6]$. Les racines pertinentes dans cet intervalle sont $t_1 = 1$ et $t_2 = \dfrac{11-\sqrt{21}}{2} \approx 3.21$. Ordonnons les racines : $1 < \dfrac{11-\sqrt{21}}{2} < \dfrac{11+\sqrt{21}}{2}$.

d. Le médicament est efficace lorsque $g(t) \ge 0$, c'est-à-dire lorsque $f(t) \ge 25$. D'après le tableau de signes, $g(t) \ge 0$ sur l'intervalle $\left[1; \dfrac{11-\sqrt{21}}{2}\right]$. En heures, cela correspond approximativement à l'intervalle $[1 ; 3,21]$ heures.

Conclusion : Le médicament est efficace pendant l'intervalle de temps $\left[1; \dfrac{11-\sqrt{21}}{2}\right]$ heures, soit approximativement pendant 2 heures et 13 minutes (car $0.21 \times 60 \approx 13$).